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Ce chapitre inclut une preuve de l'importante et malheureusement souvent négligée propriété de continuité des probabilités, qui est alors utilisée pour la résolution d'un paradoxe. Le chapitre 3 traite des très importantes notions de probabilité conditionnelle et d'indépendance d'événements.

Par une série d'exemples, nous illustrerons comment les probabilités conditionnelles interviennent non seulement quand des informations partielles sont disponibles mais aussi comme outils pour nous permettre de calculer des probabilités plus facilement, même si aucune information partielle n'est présente.

Cette technique qui permet efficacement d'obtenir des probabilités en conditionnant réapparaît au chapitre 7, où nous l'utilisons avec la notion d'espérance conditionnelle. Les variables aléatoires discrètes sont traitées au chapitre 4, les variables continues au chapitre 5 et les variables conjointes au chapitre 6.

Les importants concepts d'espérance et de variance d'une variable aléatoire sont introduits dans les chapitres 4 et 5. Ces quantités sont alors déterminées pour plusieurs types courants de variables aléatoires.

Des propriétés supplémentaires de l'espérance sont présentées dans le chapitre 7.

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Ce chapitre comprend d'autre part une section sur l'espérance conditionnelle, incluant son utilisation en vue de la prédiction, et une autre sur les fonctions génératrices des moments.

Enfin, la dernière section présente la distribution normale multivariée ainsi qu'une preuve simple concernant la distribution conjointe de la moyenne et de la variance d'un échantillon provenant d'une distribution normale.

Au chapitre 8 sont présentés les principaux résultats théoriques de la théorie des probabilités. Nous démontrerons en particulier la loi forte des grands nombres et le théorème central limite. Notre démonstration de la loi forte est relativement simple en admettant que les variables aléatoires ont un quatrième moment fini, et celle du théorème central limite repose sur le théorème de continuité de Levy.

Des inégalités sur les probabilités sont aussi présentées dans ce chapitre, telles que l'inégalité de Markov, celle de Chebyshev et les bornes de Chernoff. La dernière section du chapitre 8 donne une borne pour l'erreur induite par l'approximation d'une probabilité concernant la somme de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli par la probabilité correspondante d'une variable aléatoire de Poisson de même espérance.

Le chapitre 9 présente quelques thèmes choisis tels que les chaînes de Markov, le processus de Poisson ainsi qu'une introduction à la théorie de l'information et du codage. Le chapitre 10 traite des aspects de la simulation de façon plus étoffée que dans l'édition précédente. De nombreux exemples sont traités tout au long du texte et le lecteur trouvera aussi quantité d'exercices - où l'on a distingué des exercices théoriques et des problèmes - proposés pour approfondissement. Un grand soin a été porté à la formulation de ces exemples et problèmes.

Une solution à la plupart des problèmes est indiquée à la fin de l'ouvrage tandis que pour les enseignants un recueil de solutions est disponible.

Samuels, Purdue University; I. Savage, Yale University; R. Müller, Stanford University.

Un système de communication est composé de n antennes identiques alignées. Ce système ne pourra alors capter de signal incident - il sera alors qualifié de fonctionnel - qu'aussi longtemps que deux antennes consécutives ne seront pas défectueuses. Si on découvre qu'exactement m des n antennes sont défectueuses, quelle est la probabilité que ce système reste fonctionnel? Le système peut alors se trouver dans l'une des 6 configurations suivantes: où 1 signifie que l'antenne fonctionne et 0 qu'elle est défectueuse.

Plus précisément il faudrait calculer le nombre de configurations qui maintiennent le système fonctionnel et le diviser par le nombre de toutes les configurations possibles. Cet exemple permet de réaliser qu'il est souhaitable de disposer d'une méthode efficace pour dénombrer les différentes situations pouvant se présenter lors d'une expérience.

En fait, bien des problèmes en théorie des probabilités peuvent être résolus simplement en comptant le nombre de manières différentes selon lesquelles un certain événement peut se réaliser. Par convention on appelle analyse combinatoire la théorie mathématique du dénombrement 12 2 Initiation aux probabilités 1.

Il établit en gros que si une expérience peut produire m résultats et une autre n, alors il y a mn résultats possibles lorsqu'on considère ces deux expériences ensemble. Théorème 1.

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Si l'expérience 1 peut produire l'un quelconque de m résultats et si, pour chacun d'entre eux, il y a n résultats possibles pour l'expérience 2, alors il existe mn résultats pour les deux expériences prises ensemble. On peut obtenir la démonstration en énumérant tous les résultats des deux expériences comme suit: 1,1 , 1,2 1,n 2,l , 2,2 , On voit que l'ensemble des résultats possibles est composé de m lignes de n éléments chacune, ce qui démontre le résultat annoncé.

Exemple 1. Un sous-comité de 4 étudiants comportant un représentant de chaque classe doit être choisi. Combien peut-on former de sous-comités? Nous pouvons considérer le choix d'un sous-comité comme le résultat combiné de 4 expériences distinctes, chacune consistant à choisir un unique représentant dans l'une des classes. Numérotons de 1 à M les points.

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Par énumération directe nous en trouvons 6, à savoir: abc, acb, bac, bca, cab et cba. Chaque arrangement est par convention appelé permutation.

Il y a ainsi 6 permutations possibles des éléments d'un ensemble de 3 objets. Ce résultat aurait également pu être construit à partir du principe fondamental; la première lettre de la permutation peut être n'importe laquelle des 3, la deuxième lettre peut ensuite être choisie parmi les 2 restantes tandis que la troisième ne peut plus faire l'objet d'aucun choix. L'expression n! Un raisonnement analogue à celui que nous venons d'utiliser ci-dessus établit le théorème suivant: Théorème 1.

Exemples de permutations Exemple 1.

Il existe 9! Un examen a lieu, puis les étudiants sont classés selon leur note.

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On suppose exclu que deux étudiants obtiennent la même note. Combien de classements peut-on avoir? Si les hommes sont classés entre eux uniquement et les femmes entre elles, combien de classements globaux peut-on avoir? Comme chaque classement correspond à un certain arrangement ordonné de 10 personnes, on voit que la réponse à cette partie du problème est 10!

Jones va disposer 10 livres sur un rayon de sa bibliothèque. Quatre d'entre eux sont des livres de mathématiques, trois de chimie, deux d'histoire et un de langue. Jones aimerait ranger ses livres de façon que tous les livres traitant du même sujet restent groupés. Combien y a-t-il de dispositions possibles? Pour chaque autre ordre de présentation des sujets il y a de même 4! Par conséquent, comme ces ordres de présentation des sujets sont au nombre de 4! Taille: Télécharger Thérapie de choc et autoritarisme en Russie: Il rend les lecteurs se sentent plaisir et toujours la pensée positive.

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